Question

如下圖所示,一海島駐扎一支部隊(duì),海島離岸邊最近點(diǎn)B的距離是150 km.在岸邊距點(diǎn)B 300 km的點(diǎn)A處有一軍需品倉(cāng)庫(kù).有一批軍需品要盡快送達(dá)海島.A與B之間有一鐵路,現(xiàn)用海陸聯(lián)運(yùn)方式運(yùn)送.火車時(shí)速為50 km,船時(shí)速為30 km,試在岸邊選一點(diǎn)C,先將軍需品用火車送到點(diǎn)C,再用輪船從點(diǎn)C運(yùn)到海島.問點(diǎn)C選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短?

Answer 1

分析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題及分析問題、解決問題的能力.解題的關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù).

解：設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)B的距離為x km,則運(yùn)輸時(shí)間

,0≤x≤300.  

因?yàn)?SUB>

所以    

令T′(x)=0,則有5x-3=0,

5x=3,25x²=9(150²+x²).

解此方程,得.           

舍去負(fù)值,取x=x₀=112.5.

因?yàn)?I >T(0)==11,T(300)≈11.2,

T(112.5)==10,   

又因?yàn)樵趨^(qū)間［0,300］內(nèi),10是11,11.2和10中的最小者,因此,x=x₀=112.5是最小值點(diǎn).

即所選點(diǎn)C在與點(diǎn)B的距離為112.5 km處運(yùn)輸時(shí)間最省.