函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),函數(shù)y=f(x-2010)的圖象關(guān)于點(2010,0)對稱.若實數(shù)x,y滿足不等式f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0,則x2+y2的取值范圍是 .
【答案】分析:首先依題意判斷函數(shù)的奇偶性.然后根據(jù)單調(diào)性及f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0,得出新的關(guān)系式x2-6x<-y2+8y-24,轉(zhuǎn)換成圓的方程,把不等式轉(zhuǎn)換成點到原點的距離.得出答案.
解答:解:∵y=f(x-2010)的圖象是y=f(x)的圖象向右平移了2010個單位,又y=f(x-2010)的圖象關(guān)于點(2010,0)對稱.
∴y=f(x)關(guān)于點(0,0)對稱,即y=f(x)是遞增的奇函數(shù).
∴f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0,即f(x2-6x)<f(-y2+8y-24).
∴x2-6x<-y2+8y-24化簡得:(x-3)2+(y-4)2<1.
∴點(x,y)在以(3,4)為圓心,半徑為1的圓內(nèi).而x2+y2就是點(x,y)到原點的距離的平方.
作圖易知:42<x2+y2<62,即16<x2+y2<36.
故答案為:(16,36)
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用.在解決函數(shù)問題的時候,可巧妙利用數(shù)形結(jié)合的方法.