Question

選做題（請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則接所做的第一題計(jì)分）
（l）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁參數(shù)方程

x=cosa y=1+sina

（a為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C₂的方程為p（cosθ-sinθ）+1=0，則曲線C₁與 C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2

．
（2）（不等式選做題）若關(guān)于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集，則a的取值范圍是

a≥

3 +1

4

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系消去參數(shù)α可求出曲線C₁的普通方程，然后利用極坐標(biāo)公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求出曲線C₂普通方程，最后利用直角坐標(biāo)方程判斷C₁與C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
（2）分a=0，a＜0和a＞0，三種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析關(guān)于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集是否有可能滿足條件，進(jìn)而利用零點(diǎn)分段法，及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出a的取值范圍．

解答：解：由曲線C₂的方程為p（cosθ-sinθ）+1=0，
∴x-y+1=0．即y=x+1；
將曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程為x²+（y-1）²=1．
∴消去y整理得：2x²-1=0．
△＞0，
∴此方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
故C₁與C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，-|x-1|＜0的解集不是空集； 這種情況舍去．
當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)殚_口向下的二次函數(shù)圖象是向下無(wú)限延伸的，所以ax²-|x-1|+2a＜0的解集不可能為空集．這種情況舍去．
當(dāng)a＞0，當(dāng)x≤1時(shí)，不等式ax²-|x-1|+2a＜0可化為ax²+x+2a-1＜0
由于對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=-

1

2a

＜0，
∵關(guān)于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（x）min=f（-

1

2a

）=

8a2-4a-1

4a

≥0
即8a²-4a-1≥0
解得a≥

3 +1

4

當(dāng)x＞1時(shí)，不等式ax²-|x-1|+2a＜0可化為ax²-x+2a+1＜0
由于對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=

1

2a

＞0
∵關(guān)于x的不等式ax²-|x-1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（

1

2a

）=

8a2+4a-1

4a

≥0且f（1）=3a≥0
即8a²+4a-1≥0且a＞0
解得a≥

3 -1

4

綜上所述a≥

3 +1

4

故答案為：2，a≥

3 +1

4

點(diǎn)評(píng)：本題（1）主要考查橢圓的參數(shù)方程、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，求直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．（2）的關(guān)鍵是零點(diǎn)分段法，及對(duì)參數(shù)a的分類討論．