Question

【題目】已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在定義域上單調(diào)遞增；（2）．

【解析】

（1）先求得，利用導(dǎo)數(shù)可得恒成立，故可得的單調(diào)區(qū)間.

（2）對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立，就和結(jié)合的單調(diào)性分類討論可得對(duì)任意恒成立，參變分離后再次利用導(dǎo)數(shù)可求的取值范圍.

解：（1）因?yàn)?/span>，所以.

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．

所以，又因?yàn)?/span>，，

所以，在定義域上單調(diào)遞增.

（2）由得，即，

所以，即對(duì)任意恒成立，

設(shè)，則

所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

若，則，

若，因?yàn)?/span>，且在上單調(diào)遞增，所以，

綜上可知，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.

設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞增，

所以，即a的取值范圍為．