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已知函數f(x)=
1+lnx
x
(x≥1).
(Ⅰ)試判斷函數f(x)的單調性,并說明理由;
(Ⅱ)若f(x)
k
x+1
恒成立,求實數k的取值范圍.
分析:(I)求導函數,確定導函數的符號,可得函數的單調性;
(II)f(x)
k
x+1
恒成立,即
(x+1)(1+lnx)
x
≥k恒成立,確定左邊對應函數的最小值,即可求得k的范圍.
解答:解:(I)求導函數,可得f′(x)=-
lnx
x2

∵x≥1,∴l(xiāng)nx≥0,∴f′(x)≤0
∴f(x)在[1,+∞)上單調遞減;
(II)f(x)
k
x+1
恒成立,即
(x+1)(1+lnx)
x
≥k恒成立,
記g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
,則g′(x)=
x-lnx
x2

再令h(x)=x-lnx,則h′(x)=1-
1
x

∵x≥1,∴h′(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增.
∴[h(x)]min=h(1)=1>0,從而g′(x)>0  
故g(x)在[1,+∞)上也單調遞增
∴[g(x)]min=g(1)=2
∴k≤2.
點評:本題主要考查函數的單調性的判斷和已知單調性求參數的取值范圍.求函數的單調性時,要注意函數的定義域,而恒成立問題,一般轉化為最值問題解決.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實數x的取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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已知函數f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( �。�

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已知函數f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數f(x)在[1,+∞)上為增函數,求實數a的取值范圍;
(2)當a=1時,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當a=1時,求證對任意大于1的正整數n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,則下列結論中正確的是( �。�

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