Question

（本小題滿分12分）

已知點(diǎn)R（－3,0）,點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上 ,且滿足，.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)為軌跡C上兩點(diǎn)，且，N(1,0)，求實(shí)數(shù)，使，且.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由得P(0，)，Q().

由得(3，)·(，)＝0,即

又點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，故點(diǎn)M的軌跡C的方程是.……6分

（Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y²＝4x的焦點(diǎn)，且A、B為過(guò)焦點(diǎn)N的直線與拋物線C的兩個(gè)交點(diǎn)。

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；……7分

當(dāng)直線AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，代入

得

則|AB|,解得          ………………10分

代入原方程得，由于，所以,

由，得 .             …………………12分

解法二：由題設(shè)條件得

  

由（6）、（7）解得或，又，故

考點(diǎn)：直線與拋物線的綜合應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用；軌跡方程的求法。

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題之一。本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)法”求曲線的軌跡方程。相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x₀、y₀，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)（x₀，y₀）所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法．