Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n，n∈N⁺．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=2，求b₁，b₂；
（Ⅱ）若a_n=

n+1

n

，求證：b_n＞

1

2

；
（Ⅲ）若b_n=n²，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a₁=1，a₂=2代入a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n求b₁，b₂；
（Ⅱ）由a_n=

n+1

n

可得na_n=n+1，由a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n可得b_n=

1

2

n+3

n+1

，從而證明b_n＞

1

2

；
（Ⅲ）由b_n=n²代入a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n，從而求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，有a₁=2b₁=1，
則b₁=

1

2

，
當(dāng)n=2時，有a₁+2a₂=2×（2+1）b₂，
又∵a₁=1，a₂=2，
∴b₂=

5

6

．
（Ⅱ）∵a_n=

n+1

n

，
∴na_n=n•

n+1

n

=n+1，
∴a₁+2a₂+…+na_n=

(n+3)n

2

=n（n+1）b_n，
∴b_n=

1

2

n+3

n+1

=

1

2

（1+

2

n+1

）＞

1

2

．
（Ⅲ）當(dāng)n＞1時，
∵a₁+2a₂+…+na_n=n（n+1）b_n，①
∴a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=n（n-1）b_n-1，②
①-②得，
na_n=n（n+1）b_n-n（n-1）b_n-1，
即a_n=（n+1）b_n-（n-1）b_n-1，
又∵b_n=n²，
∴a_n=（n+1）n²-（n-1）（n-1）²
=4n²-3n+1，（n≥2）．
當(dāng)n=1時，b₁=1²，又a₁=2b₁=2也符合上式．
∴a_n=4n²-3n+1 （n∈N⁺）．

點評：本題考查了數(shù)列的化簡與求和，同時考查了整體代換的方法，化簡比較復(fù)雜，屬于難題．