Question

已知函數(shù)f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定義：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=2，3，4，…滿足f_n（x）=x的點(diǎn)x∈[0，1]稱為f（x）的n階不動(dòng)點(diǎn)．則f（x）的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、2n個(gè)
• B、2n²個(gè)
• C、2（2ⁿ-1）個(gè)
• D、2ⁿ個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：創(chuàng)新題型,推理和證明

分析：根據(jù)數(shù)f（x）=1-|2x-1|=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

，求出f₁（x）=x，的根，及個(gè)數(shù)．
根據(jù)f₁（x），求出f₂（x）=x的根，及個(gè)數(shù)，類比推理求解f（x）的n階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：函數(shù)f（x）=1-|2x-1|=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f₁（x）=2x=x，解得x=0，
當(dāng)x∈（

1

2

，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

，
∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2
當(dāng)x∈[0，

1

4

]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0
當(dāng)x∈（

1

4

，

1

2

]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=

2

5

，
當(dāng)x∈（

1

2

，

3

4

]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4x-2=x，解得x=

2

3

當(dāng)x∈（

3

4

，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=

4

5

，
∴f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2²，
依此類推：
∴f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2ⁿ

點(diǎn)評(píng)：本題考察了分段函數(shù)解析式的求解，不動(dòng)點(diǎn)的求解，特別是區(qū)間的取設(shè)，討論函數(shù)式子．屬于難題．