Question

（2013•茂名一模）已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)的離心率為

3

3

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為2

6

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C₂上不同于O的點(diǎn)S，以O(shè)S為直徑作圓與C₂相交另外一點(diǎn)R，求該圓面積的最小值時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率、參數(shù)a、b、c的關(guān)系及菱形的面積計(jì)算公式即可得出；
（2）利用線段的垂直平分線、拋物線的定義即可得出；
（3）利用向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）由題意可知

c a = 3 3 a2=b2+c2 1 2 ×2a×2b=2 6

解得

a= 3 b= 2 c=1

所以橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）∵|MP|=|MF₂|，∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F₂（1，0）的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₂是以l₁為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，
所以點(diǎn)M的軌跡C₂的方程y²=4x．
（3）∵以O(shè)S為直徑的圓C₂相交于點(diǎn)R，∴以∠ORS=90°，即

OR

•

RS

=0．
設(shè)S （x₁，y₁），R（x₂，y₂），

SR

=(x2-x1，y2-y1)，

OR

=(x2，y2)．
∴

OR

•

SR

=x₂（x₂-x₁）+y₂（y₂-y_1）=

y 2 2 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y2(y2-y1)=0，
∵y₁≠y₂，y₂≠0，化簡(jiǎn)得y1=-(y2+

16

y2

)，
∴

y

2 1

=

y

2 2

+

256

y 2 2

+32≥2

y 2 2 • 256 y 2 2

+32=64，
當(dāng)且僅當(dāng)

y

2 2

=

256

y 2 2

，即

y

2 2

=16，y₂=±4時(shí)等號(hào)成立．
圓的直徑|OS|=

x 2 1 + y 2 1

=

y 4 1 16 + y 2 1

=

1

4

y 4 1 +16 y 2 1

=

1

4

( y 2 1 +8)2-64

，
∵

y

2 1

≥64，∴當(dāng)

y

2 1

=64，y₁=±8，|OS|min=8

5

，
所以所求圓的面積的最小時(shí)，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（16，±8）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義及其性質(zhì)、線段的垂直平分線、菱形的面積計(jì)算公式、向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．