Question

如圖，設(shè)拋物線(xiàn)C：y=x²的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA、PB，且與拋物線(xiàn)C分別相切于A(yíng)、B兩點(diǎn)．則△APB的重心G的軌跡方程為     ．

Answer 1

【答案】分析：欲求軌跡方程，可尋找被動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）與主動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)（x，y）之間的關(guān)系，并用x，y表示x，y，再代入曲線(xiàn)C的方程即可；此法為“參數(shù)法”的一種，借助M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系及曲線(xiàn)C的方程消去兩個(gè)參數(shù)x，y．
解答：解：設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x，x²）和（x₁，x₁²）（x₁≠x），
∵y^/=2x，∴兩切線(xiàn)斜率分別為：2x和2x₁，
于是：切線(xiàn)AP的方程為：2xx-y-x²=0
切線(xiàn)BP的方程為：2x₁x-y-x₁²=0
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：x_P=，y_P=xx₁
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為x_G==x_P，
y_G==
∴y_P=-3y_G+4x_G²，結(jié)合x(chóng)_P=x_G代入點(diǎn)P所在在直線(xiàn)方程，得到重心G的軌跡方程為：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=（4x²-x+2）．
點(diǎn)評(píng)：本題求軌跡的方法稱(chēng)為“代入法”，問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)是：動(dòng)點(diǎn)N在已知曲線(xiàn)C上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M隨之移動(dòng)（伴隨點(diǎn)），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．其求解可多參考本題分析中的一般解法．