Question

已知圓和圓
（1）判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）求兩圓的公共弦所在直線的方程；
（3）求兩圓公切線所在直線的方程．

Answer 1

解：（1）圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式：（x+1）²+（y+3）²=1
∴圓心C₁（-1，-3），半徑r₁=1
同理，得到圓的圓心C₂（2，-1），半徑r₂=3
∵|r₁-r₂|=2，r₁+r₂=4，圓心距C₁C₂==
∴|r₁-r₂|≤C₁C₂≤r₁+r₂，得兩圓的位置關(guān)系是相交；
（2）∵圓，
圓
∴圓C₁和圓C₂的方程兩邊對(duì)應(yīng)相減，得6x+4y+13=0，
即為兩圓公共弦所在直線方程．
（3）過C₁作y軸的平行線，交圓C₁于D點(diǎn)，過C₂作y軸的平行線，交圓C₂于C點(diǎn)，可得D（-1，-4），C（2，-4）
∴直線DC方程為y=-4，且DC是兩圓的一條公切線
直線DC交直線C₁C₂于點(diǎn)A，則過A點(diǎn)與圓C₂相切的直線必定與圓C₁也相切
設(shè)切點(diǎn)為B，因此直線AB是兩圓的另一條公切線，
求得C₁C₂方程：y=，可得A（-2.5，-4），
設(shè)直線AB方程為y+4=k（x+2.5），即kx-y+2.5k-4=0
∴點(diǎn)C₂到直線AB的距離為=3，解之得k=（k=0舍去）
因此直線AB的方程為y=x+2
綜上所述，兩圓公切線所在直線的方程為y=x+2和y=-4
分析：（1）將兩圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得它們的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算出圓心距并比較其與|r₁-r₂|、r₁+r₂的大小關(guān)系，可得兩圓的位置關(guān)系是相交；
（2）將兩圓的一般式方程相減，消去平方項(xiàng)可得關(guān)于x、y的二次一次方程，即為兩圓公共弦所在直線方程；
（3）根據(jù)圖形，得到兩個(gè)圓縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)都是-4，得到一條公切線方程為y=-4．由此求出連心線與直線
y=-4的交點(diǎn)為A（-2.5，-4），利用點(diǎn)斜式方程求出過A并且與圓C₂相切的直線AB，即為兩圓的另一條公切線．最后加以整理綜合，可得兩圓公切線所在直線的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題給出兩圓的一般式方程，求兩圓的位置關(guān)系并求它們的公切線方程，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．