Question

4．已知圓O經(jīng)過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）；
（1）求該圓的方程；
（2）求過點(diǎn)D（2，0）的最短弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0，則根據(jù)圓O經(jīng)過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2），聯(lián)立方程組，求得D、E、F的值，可得圓O的方程．
（2）求出直徑OD所在直線方程的斜率，根據(jù)垂徑定理及兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得到與直徑OD垂直的弦所在直線的斜率，根據(jù)求出的斜率及D的坐標(biāo)寫出所求直線的方程即可．

解答 解：（1）設(shè)圓C的方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由圓O經(jīng)過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2），
可得$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{2+D+E+F=0}\\{20+4D+2E+F=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{D=-8}\\{E=6}\\{F=0}\end{array}\right.$，可得圓O的方程為 x²+y²-8x+6y=0．
（2）圓心O（4，-3），k_OD=$\frac{0+3}{2-4}$=-$\frac{3}{2}$，
∴與OD垂直的弦斜率為$\frac{2}{3}$，即為過D最短弦所在的直線方程的斜率，
則所求直線的方程為y=$\frac{2}{3}$（x-2），即2x-3y-4=0．

點(diǎn)評 本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的方程，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．