Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，其公比為q_k．
（1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
（2）若對任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，設．
①求證：{b_k}成等差數(shù)列，并指出其公差；
②若d₁=2，試求數(shù)列{d_k}的前k項的和D_k．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，由此能求出a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1的值．
（2）①由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，知2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，再由，能夠證明{b_k}是等差數(shù)列，且公差為1．
②由d₁=2，得a₃=a₂+2，解得a₂=2，或a₂=-1．由此進行分類討論，能夠求出D_k．
解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，公比q_k=2（k∈N^*），
∴，
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1==．
（2）①∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，
而，a_2k+2=a_2k+1•q_k+1，
∴，則，
得，
∴，即b_k+1-b_k=1，
∴{b_k}是等差數(shù)列，且公差為1．
②∵d₁=2，∴a₃=a₂+2，
則有，
解得a₂=2，或a₂=-1．
（i）當a₂=2時，q₁=2，∴b₁=1，
則b_k=1+（k-1）×1=k，
即，得，
∴=，
則
=
=（k+1）²，
∴，
則d_k=a_2k+1-a_2k=k+1，
故．
（ii）當a₂=-1時，q_k=-1，
∴，則
=k-．
即，得，
∴a_2k+1=
=××…××1=（k-）²．
則=（2k-1）（2k-3），
∴d_k=a_2k+1-a_2k=4k-2，
從而D_k=2k²，
綜上所述，D_k=，或．
點評：本題考查數(shù)列的前n項和的計算，等差數(shù)列的證明，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意計算能力的培養(yǎng)．