Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（其中e是自然數(shù)的底數(shù)），g（x）=x²+ax+1，a∈R．
（1）記函數(shù)F（x）=f（x）•g（x），且a＞0，求F（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)x₁＜x₂，因?yàn)間（x）=e^x在[0，2]單調(diào)遞增，故原不等式等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，當(dāng)a≥-（e^x+2x）恒成立時(shí)，a≥-1；當(dāng)a≤e^x-2x恒成立時(shí)，a≤2-2ln2，綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）y=f（x）•g（x）=（x^2_+ax+1）•e^x，
∴F'（x）=[x²+（a+2）x+（a+1）]e^x，
令F'（x）=0，則x²+（a+2）x+（a+1）=0，即[x+（a+1）]（x+1）=0，解得x=-1，或x=-a-1
∵a＞0，∴-a-1＜-1，
∵x∈[-a-1，-1]時(shí)，y'＜0，x∈（-∞，-a-1）和（-1，+∞）時(shí)，y'＞0，
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a-1）和（-1，+∞），
（2）設(shè)x₁＜x₂，因?yàn)閒（x）=e^x在[0，2]單調(diào)遞增，
故原不等式等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即

g(x1)-f(x1)＜g(x2)-f(x2) f(x1)+g(x1)＜g(x2)+f(x2)

，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
則函數(shù)F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]單調(diào)遞增，
則有

G′(x)=g′(x)+f′(x)=ex+2x+a≥0 F′(x)=g′(x)-f′(x)=ex-2x-a≥0

，在[0，2]恒成立，
當(dāng)a≥-（e^x+2x）恒成立時(shí)，因?yàn)?（e^x+2x）在[0，2]單調(diào)遞減，
所以-（e^x+2x）的最大值為-1，所以a≥-1；
當(dāng)a≤e^x-2x恒成立時(shí)，因?yàn)閑^x-2x在[0，ln2]單調(diào)遞減，在[ln2，2]單調(diào)遞增，
所以e^x-2x的最小值為2-ln2，所以a≤2-2ln2，
綜上：-1≤a≤2-2ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值，運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．