【題目】設(shè)，其中，為個(gè)互不相同的有限集合，滿(mǎn)足對(duì)任意、，均有.若（表示有限集合的元素個(gè)數(shù)），證明：存在，使得屬于中的至少個(gè)集合.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

不妨設(shè).設(shè)在中與不相交的集合有個(gè)，重新記為；

設(shè)包含的集合有個(gè)，重新記為.先證明，再證明.再證明包含的集合個(gè)數(shù)至少為.

不妨設(shè).

設(shè)在中與不相交的集合有個(gè)，重新記為；

設(shè)包含的集合有個(gè)，重新記為.

由已知條件，得，即.

于是，得到一個(gè)映射，.

顯然，為單射.從而，.

設(shè).

在中除去，后，在剩下的個(gè)集合中，設(shè)包含的集合有個(gè)，由于剩下的個(gè)集合中，設(shè)包含的集合有個(gè)，由于剩下的個(gè)集合中每個(gè)集合與的交非空，即包含某個(gè)，從而，

. ①

不妨設(shè).

則由式①知，即在剩下的個(gè)集合中，包含的集合至少有個(gè).

又由于，故均包含.

因此，包含的集合個(gè)數(shù)至少為

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了解某冷飲店的經(jīng)營(yíng)狀況，隨機(jī)記錄了該店月的月?tīng)I(yíng)業(yè)額（單位：萬(wàn)元）與月份的數(shù)據(jù)，如下表：

（1）求關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程；

（2）若在這樣本點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，求恰有一點(diǎn)在回歸直線(xiàn)上的概率.

附：回歸直線(xiàn)方程中，

，.

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【題目】某校學(xué)生會(huì)為研究該校學(xué)生的性別與語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)這3個(gè)變量之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，得到某次期末考試的成績(jī)數(shù)據(jù)如表1至表3，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該校學(xué)生語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)這三門(mén)學(xué)科中（ ）

表1

表2

表3

語(yǔ)文

性別

不及格

及格

總計(jì)

數(shù)學(xué)

性別

不及格

及格

總計(jì)

英語(yǔ)

性別

不及格

及格

總計(jì)

男

14

36

50

男

10

40

50

男

25

25

50

女

16

34

50

女

20

30

50

女

5

45

50

總計(jì)

30

70

100

總計(jì)

30

70

100

總計(jì)

30

70

100

A.語(yǔ)文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小

B.數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，語(yǔ)文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小

C.英語(yǔ)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，語(yǔ)文成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小

D.英語(yǔ)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最大，數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)聯(lián)性的可能性最小

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【題目】如圖，某污水處理廠(chǎng)要在一個(gè)矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(管道構(gòu)成Rt△FHE，H是直角項(xiàng)點(diǎn))來(lái)處理污水．管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線(xiàn)段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，記∠BHE＝．

（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出定義域；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度L．

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A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面.

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（2）已知p：函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定義城為R，已知q：已知且，指數(shù)函數(shù)g（x）＝（a﹣1）x在實(shí)數(shù)域內(nèi)為減函數(shù)；若￢p∨q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍.

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