Question

如下圖所示，圖1是定義在R上的二次函數(shù)f（x）的部分圖象，圖2是函數(shù)g（x）=log_a（x+b）的部分圖象。

（1）分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）如果函數(shù)y=g（f（x））在區(qū)間[1，m）上單調(diào)遞減，求m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題圖1得，二次函數(shù)f（x）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
故可設(shè)函數(shù)f（x）=a（x-1）²+2，又函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，0），故a=-2，
整理得f（x）=-2x²+4x
由題圖2得，函數(shù)g（x）=log_a（x+b）的圖象過點(diǎn)（0，0）和（1，1），
故有
∴
∴g（x）=log₂（x+1）（x>-1）。
（2）由（1）得y=g（f（x））=log₂（-2x²+4x+1）是由y=log₂t和t=-2x²+4x+1復(fù)合而成的函數(shù)，
而y=log₂t在定義域上單調(diào)遞增，要使函數(shù)y=g（f（x））在區(qū)間[1，m）上單調(diào)遞減，
必須t=-2x²+4x+1在區(qū)間[1，m）上單調(diào)遞減，且有t>0恒成立
由t=0得x=，
又t的圖象的對稱軸為x=1
所以滿足條件的m的取值范圍為1＜m＜。