Question

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²，則關(guān)于x的方程f（x）=

1

2

|x|在[-1，2]上根的個數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：關(guān)于x的方程f（x）=

1

2

|x|在[-1，2]上根的個數(shù)，即函數(shù)y=f（x）和y=

1

2

|x|的圖象交點的個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
又由函數(shù)f（x）為定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，
且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²，
故在[-1，2]上，函數(shù)y=f（x）和y=

1

2

|x|的圖象如下所示：

由圖可知：兩個函數(shù)的圖象共有4個交點，
故關(guān)于x的方程f（x）=

1

2

|x|在[-1，2]上有4個根，
故選B．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點與方程的根，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．