Question

（2012•深圳二模）如圖，已知動圓M過定點F（0，1）且與x軸相切，點F關于圓心M的對稱點為F′，動點F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設A（x₀，y₀）是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的距離最大，求點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）設F′（x，y），則可得M（

x

2

，

y+1

2

），圓M的直徑為|FF′|=

x2+(y-1)2

，利用動圓M與x軸相切，即可求得曲線C的方程；
（2）①確定A（x₀，

x02

4

），設P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），利用直線AP，AQ的傾斜角互補，可得它們的斜率互為相反數(shù)，從而可得直線PQ的斜率；
②由①可知，k_PQ=-

x0

2

，則若點B在曲線段L上，且點B到直線PQ的距離最大，曲線C在點B處的切線l∥PQ，設直線的方程，代入拋物線方程，利用判別式，即可求得結論．

解答：（1）解：設F′（x，y），因為點F（1，0）在圓M上，且點F關于圓心M的對稱點為F′，
所以M（

x

2

，

y+1

2

），…（1分）
且圓M的直徑為|FF′|=

x2+(y-1)2

．…（2分）
由題意，動圓M與x軸相切，所以

|y+1|

2

=

x2+(y-1)2

2

，兩邊平方整理得：x²=4y，
所以曲線C的方程為x²=4y．             …（5分）
（2）①證明：因為A（x₀，y₀）是曲線C：x²=4y上的點，所以y₀=

x02

4

，∴A（x₀，

x02

4

）．
又點P、Q在曲線C：x²=4y上，所以可設P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），…（6分）
而直線AP，AQ的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數(shù)，
即

x12 4 - x02 4

x1-x0

=-

x22 4 - x02 4

x2-x0

，整理得x₁+x₂=-2x₀．   …（8分）
所以直線PQ的斜率k_PQ=

x22 4 - x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

=-

x0

2

為定值．      …（10分）
②解：由①可知，k_PQ=-

x0

2

，則若點B在曲線段L上，且點B到直線PQ的距離最大，
∴曲線C在點B處的切線l∥PQ． …（11分）
設l：y=-

x0

2

x+b，代入拋物線方程，消去y，得x²+2x₀x-4b=0．
令△=（2x₀）²-4×1×（-4b）=0，整理得b=-

x02

4

．…（12分）
代入方程組，解得x=-x₀，y=

x02

4

．
所以，點B的坐標是（-x₀，

x02

4

）． …（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．