Question

16．（1）如果關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集，求m的取值范圍；
（2）若a，b均為正數(shù)，求證：a^ab^b≥a^bb^a．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式推出|x+1|+|x-5|≥6，轉(zhuǎn)化不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集，推出m即可；
（2）利用分析法，集合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，推出結(jié)果即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）令$y=|x+1|+|x-5|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x+4}\\ 6\\{2x-4}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x≤-1}\\{，-1＜x＜5}\\{，x≥5}\end{array}$，可知|x+1|+|x-5|≥6，故要使不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集，有m≥6．（5分）
（2）證明：由a，b均為正數(shù)，則要證a^ab^b≥a^bb^a，只需證a^a-bb^b-a≥1，整理得${（\frac{a}）^{a-b}}≥1$，
由于當(dāng)a≥b時，a-b≥0，可得${（\frac{a}）^{a-b}}≥1$，
當(dāng)a＜b時，a-b＜0，可得${（\frac{a}）^{a-b}}＞1$，可知a，b均為正數(shù)時${（\frac{a}）^{a-b}}≥1$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，
從而a^ab^b≥a^bb^a成立．（10分）

點評 本小題主要考查不等式的相關(guān)知識，具體涉及到絕對值不等式解法及不等式證明等內(nèi)容．本小題重點考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想．