Question

若x∈[2，+∞），不等式（m-m²）x+x²+1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為m2-m＜x+

1

x

，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+

1

x

，利用導(dǎo)數(shù)求其在[2，+∞）上的最小值，恒成立命題等價(jià)于m2-m＜

5

2

，解不等式即可確定m的范圍．

解答： 解：∵x∈[2，+∞），
∴不等式（m-m²）x+x²+1＞0可化為
m2-m＜x+

1

x

，
令f（x）=x+

1

x

，則f′(x)=1-

1

x2

，
∵x≥2，
∴f′(x)=1-

1

x2

＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[2，+∞）的最小值為f（2）=

5

2

，
∴不等式（m-m²）x+x²+1＞0恒成立等價(jià)于
m2-m＜

5

2

，
解得

1- 11

2

＜m＜

1+ 11

2

，
故答案為：(

1- 11

2

，

1+ 11

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．