已知點為軸上的動點，點為軸上的動點，點為定點，且滿足，.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，，試判斷在軸上是否存在點，使得成立，請說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）在軸上存在點，使得成立

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)，則由，得為的中點.        ……2分

∴, .

∴ , .

∴, 即.

∴動點的軌跡的方程.                                         ……5分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，由  消去得.

設(shè)，, 則, .                      ……6分

假設(shè)存在點滿足條件，則, ,

∴

.                                         ……9分

∵,

∴關(guān)于的方程有解 .                             ……11分

∴假設(shè)成立，即在軸上存在點，使得成立.         ……12分

考點：本小題主要考查軌跡方程的求解和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題，此類題目一般運算量較大，主要考查學(xué)生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點F是橢圓
x2
1+a2
+y2=1(a＞0)右焦點，點M（m，0）、N（0，n）分別是x軸、y軸上的動點，且滿足
MN
•
NF
=0，若點P滿足
OM
=2
ON
+
PO
．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點F任作一直線與點P的軌跡C交于A、B兩點，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點S、T（其中O為坐標原點），試判斷
FS
•
FT
是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆遼寧省鐵嶺六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點 任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。
（1）求曲線的方程；
（2）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期5月高考沖刺文科數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年遼寧省鐵嶺六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點 任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

   （1）求曲線的方程；

   （2）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分。

 

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