Question

已知橢圓Γ的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-a，b)，
(Ⅰ)若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0，-b)、B(a，0)滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(Ⅱ)設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，交直線l₂：y=k₂x于點(diǎn)E。若k₁·k₂=，證明：E為CD的中點(diǎn)；
(Ⅲ)對于橢圓Γ上的點(diǎn)Q(acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果橢圓Γ上存在不同的兩點(diǎn)P₁、P₂使得
，寫出求作點(diǎn)P₁、P₂的步驟，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，
∵，
∴，
于是，點(diǎn)M的坐標(biāo)為。
(Ⅱ)證明：由得(b²+a²k₁²)x²+2a²k₁px+a²p²-a²b²=0，
∴CD中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴，
由得l₁與l₂的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴l(xiāng)₁與l₂的交點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．
(Ⅲ)解：第一步：取PQ的中點(diǎn)；
第二步：過點(diǎn)R作斜率為的直線交Γ于P₁、P₂兩點(diǎn)，
由(Ⅱ)可知，R是P₁P₂的中點(diǎn)，則PP₁QP₂是平行四邊形，
有，要使P₁、P₂存在，則點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)，
將代入橢圓Γ的方程，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)R在橢圓內(nèi)，
整理得(1+sinθ)²+(cosθ-1)²＜4，即2sinθ-2cosθ＜1，
亦即，
又0＜θ＜π，
∴。