Question

如圖，在△ABC₁中，AO是BC₁邊上的高，OA=OB=2，OC₁=3，將△OAC₁沿直線OA翻折成△OAC，若二面角C-OA-B為直二面角，D為四面體OABC外一點(diǎn)，給出下列命題：
①存在點(diǎn)D，使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形；
②存在點(diǎn)D，點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球球面上；
③不存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等；
④不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐．
其中真命題的序號(hào)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①取D為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，使得A，B，C是與D相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)，則可使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形；
②由于二面角C-OA-B為直二面角，可得∠BOC=Rt∠，再取同①的點(diǎn)D，使得點(diǎn)O與D為相對(duì)的兩個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，利用長(zhǎng)方體一定有外接球即可得出；
③舉反例：取CD⊥AC，CD⊥BC，且CD=AB，則點(diǎn)D使CD與AB垂直并且相等；
④舉反例：作△ABD為正三角形，使得CD=AC，則點(diǎn)D使四面體ABCD是正三棱錐．

解答： 解：①取D為長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，使得A，B，C是與D相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)，則可使四面體ABCD有3個(gè)面是直角三角形；
②∵二面角C-OA-B為直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的點(diǎn)D，使得點(diǎn)O與D為相對(duì)的兩個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球球面上；
③取CD⊥AC，CD⊥BC，且CD=AB，則點(diǎn)D使CD與AB垂直并且相等，因此③不正確；
④作△ABD為正三角形，使得CD=AC，則點(diǎn)D使四面體ABCD是正三棱錐，因此④不正確．
綜上可得：只有①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、四面體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．