Question

已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）

試題分析：（Ⅰ）由函數(shù)，得，又由曲線在和處的切線互相平行，則兩切線的斜率相等地，即，因此可以得到關(guān)于的等式，從而可求出.
（Ⅱ）由，令，則，，因此需要對(duì)與0，，2比較進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有，在區(qū)間上有；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上有，在區(qū)間上有；③當(dāng)時(shí)，有；④當(dāng)時(shí)，區(qū)間和上有，在區(qū)間上有，綜上得的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（Ⅲ）由題意可知，在區(qū)間上有函數(shù)的最大值小于的最大值成立，又函數(shù)在上的最大值，由（Ⅱ）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，，解得，故；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由可知，，，所以，，；綜上所述，所求的范圍為.
試題解析：.                                 2分
（Ⅰ），解得.                                    3分
（Ⅱ）.                                5分
①當(dāng)時(shí)，，，
在區(qū)間上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.          6分
②當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.     7分
③當(dāng)時(shí)，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.    8分
④當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.     9分
（Ⅲ）由已知，在上有.                    10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故，
所以，，解得，故.      11分
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故.
由可知，，，
所以，，，                             13分
綜上所述，.                                          14分