Question

求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解的a．

Answer 1

解：令 f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x=
=（cos4x-cos6x），
則有f′（x）=3sin6x-2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=，
即f′（0）=0，f′（）=0，而且還有f′（π）=0．
由于f′（x）在x=0的左側(cè)小于0，右側(cè)大于0，故f（0）是函數(shù)的極小值，
由于f′（x）在x=的左側(cè)大于0，右側(cè)小于0，故f（）=1是函數(shù)的極大值，
同理可得f（π）=0是函數(shù)的極小值．
故函數(shù) f（x）在[0，π）上只有一個極大值是f（）=1，
故當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函數(shù)y=a只有一個交點(diǎn)．
即sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解的a值．
分析：化簡函數(shù)解析式為f（x）=（cos4x-cos6x），利用導(dǎo)數(shù)可得f（0）=0是函數(shù)的極小值，f（）=1是函數(shù)的極大值，
f（π）=0是函數(shù)的極小值，當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函數(shù)y=a只有一個交點(diǎn)，從而得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解零點(diǎn)的定義以及零點(diǎn)判定定理，將題設(shè)中零點(diǎn)只有一個的條件正確轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．