Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+bx+1．
（1）當(dāng)b=2a時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值？
（2）已知b＞0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，試用b表示出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把b=2a代入到f（x）中，求出f'（x）=0時(shí)x的值，利用a的范圍討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對(duì)x∈（0，2]恒成立，即a≤x+

b

x

-2恒成立，設(shè)g（x）=x+

b

x

-2，求出導(dǎo)函數(shù)利用b的取值范圍討論函數(shù)的增減性得到g（x）的最小值，a小于等于最小值，列出不等式求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)b=2a時(shí)，f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+2ax+1，
所以f'（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-2）（x-a）．令f'（x）=0，得x=2，或x=a．
①若a＜2，則當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．此時(shí)當(dāng)x=a時(shí)，f（x）有極大值f(a)=-

1

6

a3+a2+1；當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值f(2)=2a-

1

3

．
②若a=2，則f'（x）=（x-2）²≥0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）無極值．
③若a＞2，則當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極大值f(2)=2a-

1

3

；當(dāng)x=a時(shí)，f（x）有極小值f(a)=-

1

6

a3+a2+1．
（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對(duì)x∈（0，2]恒成立，
即a≤x+

b

x

-2對(duì)x∈（0，2]恒成立，所以a≤(x+

b

x

-2)min，x∈(0，2]．
設(shè)g(x)=x+

b

x

-2，x∈(0，2]，則g′(x)=1-

b

x2

=

(x+ b )(x- b )

x2

（b＞0），
①若0＜

b

＜2，即0＜b＜4，則當(dāng)x∈(0，

b

)時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈(

b

，2]時(shí)，f'（x）＞0．
所以g（x）在(0，

b

)上單調(diào)遞減，在(

b

，2]上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=

b

時(shí)，g（x）有最小值g(

b

)=2

b

-2，所以當(dāng)0＜b＜4時(shí)，a≤2

b

-2．
②若

b

≥2，即b≥4，則當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，g'（x）≤0，所以g（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=2時(shí)，g（x）有最小值g(2)=

b

2

，所以當(dāng)b≥4時(shí)，a≤

b

2

．
綜上所述，當(dāng)0＜b＜4時(shí)，a≤2

b

-2；當(dāng)b≥4時(shí)，a≤

b

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及會(huì)利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．