Question

已知A、B、C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)λ、m、n使λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

0

，那么λ+m+n的值等于

0

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量共線的條件，存在實(shí)數(shù)k，使得

AB

=k

BC

．由此化簡(jiǎn)得

OA

-（k+1）

OB

+k

OC

=

O

，再與已知等式比較系數(shù)，結(jié)合討論即可得到λ+m+n的值為0．

解答：解：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使得

AB

=k

BC

∵

AB

=

OB

-

OA

，

BC

=

OC

-

OB

∴

OB

-

OA

=k（

OC

-

OB

），化簡(jiǎn)整理得：

OA

-（k+1）

OB

+k

OC

=

O

∵λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

O

，
∴①當(dāng)k=-1時(shí)，比較系數(shù)得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0
②當(dāng)k≠-1時(shí)，可得

λ

1

=

m

-k-1

=

n

k

，得m=（-k-1）λ，n=kλ
由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0
綜上所述，λ+m+n的值為0
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題給出三點(diǎn)共線，求向量式中的系數(shù)特征．著重考查了平面向量共線的條件和平面向量的基本定理及其意義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．