Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左、右兩個焦點，一條直線l經(jīng)過點F₁與橢圓交于A、B兩點，且△ABF₂的周長為8．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若l的傾斜角為

π

4

，求|AB|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的定義以及三角形的周長，直接求實數(shù)a的值；
（2）利用（1）求出橢圓的方程，通過l的傾斜角為

π

4

，求出直線的方程，聯(lián)立方程組，法一：利用弦長公式即可求|AB|的值．法二：可以利用兩點間距離公式求解距離．

解答： 解：由橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，…（2分）
又|AF₁|+|BF₁|=|AB|，
所以△ABF₂的周長=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a．          …（4分）
又因為△ABF₂的周長為8，所以4a=8，則a=2．     …（5分）
（2）由（1）得，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)₁（-1，0），…（7分）
因為直線l的傾斜角為

π

4

，所以直線l斜率為1，
故直線l的方程為y=x+1．                      …（8分）
由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

消去y，得7x²+8x-8=0，…（9分）
（法一：|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=

24

7

）
法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得，x1=

-4+6 2

7

，x2=

-4-6 2

7

…（10分）
所以y1=

3+6 2

7

，y2=

3-6 2

7

則|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

( 12 2 7 )2+( 12 2 7 )2

=

24

7

…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法在與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．