Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=90°，則橢圓離心率的取值范圍是________．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，點(diǎn)P即在已知橢圓上，又在以F₁F₂為直徑的圓上．因此以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有公式點(diǎn)，所以該圓的半徑c大于或等于短半軸b的長度，由此建立關(guān)于a、c的不等式，即可求得橢圓離心率的取值范圍．
解答：解∵P點(diǎn)滿足∠F₁PF₂=90°，
∴點(diǎn)P在以F₁F₂為直徑的圓上
又∵P是橢圓上一點(diǎn)，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，
∵F₁、F₂是橢圓的焦點(diǎn)
∴以F₁F₂為直徑的圓的半徑r滿足：r=c≥b，
兩邊平方，得c²≥b²
即c²≥a²-c²?2c²≥a²
兩邊都除以ea²，得2e²≥1，
∴e≥，結(jié)合0＜e＜1，
∴≤e＜1，即橢圓離心率的取值范圍是[，1）．
故答案為：[，1）．
點(diǎn)評：本題在已知橢圓上一點(diǎn)對兩個焦點(diǎn)張角等于90度的情況下，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的基本概念和解不等式的基本知識，屬于中檔題．