Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線分別為的左，右頂點(diǎn).

(1)以為圓心的圓與恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，寫出此圓的方程；

(2)直線過點(diǎn),與在第一象限有公共點(diǎn),線段的垂直平分線過點(diǎn),求直線的方程；

(3)上是否存在異于點(diǎn),使成立，若存在，求出所有的坐標(biāo)，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）求雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得以A為圓心的圓經(jīng)過B,求得半徑，可得所求圓的方程（2）設(shè)直線l的方程為，（），聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得P的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AP的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩直線垂直的條件，解方程可得，進(jìn)而得到所求直線方程（3）假設(shè)l上存在異于A,B點(diǎn)M,N，使成立，設(shè)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿足雙曲線方程，解方程可得M的坐標(biāo)，即可判斷是否存在.

(1)因?yàn)殡p曲線為

所以左右頂點(diǎn)，

由題意可得以A為圓心的圓經(jīng)過B,

則圓的半徑，圓的方程為.

(2)直線過點(diǎn)，且直線的斜率存在，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立雙曲線方程消去y，可得，

可得，可得，

可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

由題意可得，即為，解得(負(fù)的舍去)，

則直線的方程為；

(3)設(shè),

因?yàn)?/span>,

所以

把代入雙曲線方程得:

,與點(diǎn)重合,故不存在.