Question

（本題滿分14分）

已知是函數(shù)的一個極值點，且函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為2.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間.（5分）

（Ⅱ）設(shè)，其中，問：對于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實數(shù)根？若存在，請確定實數(shù)根的個數(shù).若不存在，請說明理由.（9分）

 

Answer 1

【答案】

（I），單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

（Ⅱ）對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當時,有唯一的實數(shù)解；當時,有兩個實數(shù)解。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由x=0是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點，f^′（0）=0，得到關(guān)于a，b的一個方程，函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²，f^′（2）=2e²；得到一個關(guān)于a，b的一個方程，解方程組求出a，b即可；

（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上是否存在實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，m）上的單調(diào)性、極值、最值問題．

解：（I）………………1分

由……………………2分

又，故………3分

令得或

令得………………4分

故，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是……5分.

（Ⅱ）解:假設(shè)方程在區(qū)間上存在實數(shù)根

設(shè)是方程的實根，,………………6分

 令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有實根,并討論解的個數(shù)……………………7分

因為，,

所以 ①當時,,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解 ……………………………10分

③當時,,所以在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解…………………………………12分

綜上, 對于任意的,方程在區(qū)間上均有實數(shù)根且當時,有唯一的實數(shù)解；當時,有兩個實數(shù)解……14分

考點：本試題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)f（x）的解析式體現(xiàn)了方程的思想；方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，再求函數(shù)最值中，又用到了分類討論的思想；屬難題

點評：解決該試題的關(guān)鍵是方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，并能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程問題。