將一塊圓心角為，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，如圖有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪種裁法能得到最大面積的矩形，并求出這個最大值。

 

答案：
解析：

如圖甲，要使面積最大，則O為其一頂點且M在上，設(shè)，則矩形PMNO面積，

　　   當(dāng)

　　   如圖乙，設(shè)由正弦定理得。

　　   由圖形的對稱性可知，的平分線OC為對稱軸，因此，MN=2·OM·

　　   ∴矩形PQMN面積

　　  

　　   當(dāng)時，最大值為

　　   ∵

　　   ∴用第二種方法可截得面積最大的矩形，最大面積為。

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一塊圓心角為
π
3
半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形，如圖，有兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上（圖1）或讓矩形一邊與弦AB平行（圖2）
（1）在圖1中，設(shè)矩形一邊PM的長為x，試把矩形PQRM的面積表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）在圖2中，設(shè)∠AOM=θ，試把矩形PQRM的面積表示成關(guān)于θ的函數(shù)；
（3）已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為
3
6
a2，那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黃岡新內(nèi)參·高考（專題）模擬測試卷·數(shù)學(xué) 題型：044

將一塊圓心角為，半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形，如下圖所示有兩種裁法：(讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，如圖(1)；或讓矩形一邊與扇形的弦AB平行，如圖(2)，請問哪一種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一塊圓心角為，半徑為㎝的扇形鐵片裁成一塊矩形，有如圖(1)、(2)的兩種裁法：讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行，請問哪 種裁法能得到最大面積的矩形？并求出這個最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

課外研究題：將一塊圓心角為，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學(xué)建議：這是一個研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑上，或讓矩形一邊與弦平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．

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