Question

【題目】已知函數(shù)，其中；

（l）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；

（2）討論在上函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1) ，設(shè)，，因此單調(diào)遞減,,討論正負(fù)即可判斷出極值情況;

(2)由(1)可知若時,恒為增函數(shù),計算可知,此時無零點(diǎn), 若時, ,可求得,討論與的關(guān)系,及若，,函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性及函數(shù)值在區(qū)間端點(diǎn)的符號,即可得出結(jié)論.

（1），設(shè)，

，因此單調(diào)遞減，

，

又時，，

若，即時，

，使；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

在處取極大值，不存在極小值.

若，即，，

在單調(diào)遞增，此時無極值.

（2）由第一問結(jié)論可知：

（i）若時，由上問可知：

，

即時函數(shù)沒有零點(diǎn).

（ii）若時，時單調(diào)遞增；

時，單調(diào)遞減.

由，得，

從而，再設(shè)，

則，從而a關(guān)于單調(diào)遞增.

①若，此時，

若得或，

所以時無零點(diǎn)；

若得，

所以時有一個零點(diǎn)；

當(dāng)，，有一個零點(diǎn).

因此時無零點(diǎn)；

時有一個零點(diǎn)；

②此時，

，，

，

設(shè)，

則，

所以，

若即，即時無零點(diǎn)；

若即，即時有一個零點(diǎn).

綜上所述：時無零點(diǎn)；

時有一個零點(diǎn).