Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x（a＜0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)f′（x）≥0的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-

1

2

，且關(guān)于a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)考慮其圖象與x軸的交點(diǎn)的問(wèn)題．
（3）設(shè)h（x）=lnx-x+1然后求導(dǎo)，可判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，再由數(shù)學(xué)歸納法得證．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=-

ax2+2x-1

x

(x＞0)，依題意f'（x）≥0，
在x＞0時(shí)恒成立，則a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1，
在x＞0時(shí)恒成立，即a≤[ ，
當(dāng)x=1時(shí)，(

1

x

-1)2-1取最小值-1，所以a的取值范圍是（-∞，-1]…4分
（Ⅱ）a=-

1

2

，由f(x)=-

1

2

x+b得

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b=0在[1，4]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)g(x)=

1

4

x2-

3

2

x+lnx，x∈[1，4]    g′(x)=

(x-2)(x-1)

2x

，
x∈[1，2）時(shí)，g'（x）＜0，x∈（2，4]時(shí)，g'（x）＞0g（x）_min=g（2）=ln2-2，g(1)=-

5

4

，g(4)=2ln2-2，g(1)-g(4)=

3

4

-2ln2=

1

4

(3-4ln4)＜0，
得g（1）＜g（4）則b∈(ln2-2，-

5

4

]…8分
（Ⅲ）易證當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lnx＜x-1．
由已知條件a_n＞0，a_n+1=lna_n+a_n+2≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，故a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，0＜

a2+1

a1+1

≤2，
相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，
又a₁=1，故an+1≤2n，即an≤2n-1…12分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，綜合性強(qiáng)，屬于難題．