【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面 平面， 為中點(diǎn)， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若二面角的平面角大小滿足，求四棱錐的體積.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由正三角形性質(zhì)可得，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而，則 ，由線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，令，求出平面的法向量以及平面的法向量，根據(jù)二面角的平面角大余弦值列方程求出，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)為， 中點(diǎn)為，

由側(cè)面為正三角形，且平面平面知平面，故，

又，則平面，所以，

又，則，又是中點(diǎn)，則，

由線面垂直的判定定理知平面，

又平面，故平面平面.

（Ⅱ）

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

令，則.

由（Ⅰ）知為平面的法向量，

令為平面的法向量，

由于均與垂直，

故即解得

故，由 ，解得.

故四棱錐的體積.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的判定定理、利用空間向量求二面角以及棱錐的體積公式，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知下列命題：

①意味著每增加一個(gè)單位,平均增加8個(gè)單位

②投擲一顆骰子實(shí)驗(yàn)，有擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)兩個(gè)基本事件

③互斥事件不一定是對(duì)立事件，但對(duì)立事件一定是互斥事件

④在適宜的條件下種下一顆種子，觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)實(shí)驗(yàn)為古典概型

其中正確的命題有__________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過A（0，1）和且與x軸相切的圓只有一個(gè)，求的值及圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線 ，過點(diǎn)P（3，6）的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（12，15），則雙曲線C的離心率為（ ）
A.2
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l：

1證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)并求此點(diǎn)的坐標(biāo)；

2若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

3若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程．

（1）若從， ， ， 四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)， 是從， ， 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；

（2）若是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù)， 是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax+a（a∈R），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）兩點(diǎn)，x1＜x2 ， 點(diǎn)C在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記 ，求at﹣（a+t）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”已知1丈為10尺，該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（ ）
A.10000立方尺
B.11000立方尺
C.12000立方尺
D.13000立方尺

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中點(diǎn)．

（I）求證：EM⊥AD；
（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；
（III）在線段EC上是否存在點(diǎn)P，使得直線AP與平面ABE所成的角為45°，若存在，求出 的值；若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案