Question

【題目】已知為常數(shù)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）：

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知函數(shù)在的單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值；（2）①由有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）可知有兩個(gè)根，即得，再令，求的值域即可；②要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求其最大值小于零即可．

試題解析：

（1），定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．

（2）①，由于有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得有兩個(gè)不同解，即有兩個(gè)不同解，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，且，由數(shù)形結(jié)合可得，且．

②要證，即證，，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，注意，，令，注意，，所以，可得，所以單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而．