Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，則這個(gè)三棱錐體積的取值范圍是

1. A.
   （0，]
2. B.
   （0，]
3. C.
   （0，]
4. D.
   （0，1）

Answer 1

B
分析：在棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，其體積的下界為0，要使三棱錐的體積最大，則這四個(gè)點(diǎn)一定得最在正方體的頂點(diǎn)處，分別討論上下兩個(gè)底面各取兩個(gè)點(diǎn)和一個(gè)底面三個(gè)點(diǎn)，另一個(gè)底面一個(gè)點(diǎn)時(shí)，棱錐的體積，即可得到棱錐的最大值，進(jìn)而得到答案．
解答：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)三棱錐的底面為α．
在正方體的表面上，離三棱錐底面α最遠(yuǎn)的點(diǎn)，一定可以在正方體的頂點(diǎn)處取得．此時(shí)，三棱錐的體積最大．固定住這個(gè)點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為三棱錐底面的一個(gè)點(diǎn)，則三棱錐的頂點(diǎn)一定可以在正方體的頂點(diǎn)處取得，同理，三棱錐體積最大時(shí)，三個(gè)頂點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處取得．
故正方體8個(gè)頂點(diǎn)中四個(gè)頂點(diǎn)形成三棱錐的體積最大的那個(gè)即為所求．
由于三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)不共面，故在面ABCD和面A₁B₁C₁D₁中，分別可能有三棱錐的（1，3），（2，2），（3，1）個(gè)頂點(diǎn)，其中（1，3）和（3，1）是對(duì)稱的．
故只需討論（3，1）和（2，2）的情形．
若為（3，1），在底面，不妨取A、B、D頂點(diǎn)可為A₁、B₁、C₁、D₁，三棱錐體積都為，

若為（2，2）
則在底面可取A、B或A、C．
若為A、B，頂面可取（A₁，C₁），（A₁，D₁），三棱錐體積．

若為A、C，則頂點(diǎn)可取B₁D₁此時(shí)
∴∴∴
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征得到三棱錐的體積最大時(shí)，這四個(gè)點(diǎn)一定得最在正方體的頂點(diǎn)處，進(jìn)而簡(jiǎn)單分類討論的種類是解答本題的關(guān)鍵．