設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為q,且
,
表示不超過(guò)實(shí)數(shù)
的最大整數(shù)(如
),記
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
.
(Ⅰ)若,求
;
(Ⅱ)若對(duì)于任意不超過(guò)的正整數(shù)n,都有
,證明:
.
(Ⅲ)證明:(
)的充分必要條件為
.
(Ⅰ)解:由等比數(shù)列的
,
,
得,
,
,且當(dāng)
時(shí),
.
所以,
,
,且當(dāng)
時(shí),
.
即
(Ⅱ)證明:因?yàn)?,
所以 ,
.
因?yàn)?,
所以 ,
.
由 ,得
.
因?yàn)?,
所以 ,
所以 ,即
.
(Ⅲ)證明:(充分性)因?yàn)?,
,
所以 ,
所以 對(duì)一切正整數(shù)n都成立.
因?yàn)?,
,
所以 .
(必要性)因?yàn)閷?duì)于任意的,
,
當(dāng)時(shí),由
,得
;
當(dāng)時(shí),由
,
,得
.
所以對(duì)一切正整數(shù)n都有.
由 ,
,得對(duì)一切正整數(shù)n都有
,
所以公比為正有理數(shù).
假設(shè) ,令
,其中
,且
與
的最大公約數(shù)為1.
因?yàn)?sub>是一個(gè)有限整數(shù),
所以必然存在一個(gè)整數(shù),使得
能被
整除,而不能被
整除.
又因?yàn)?sub>,且
與
的最大公約數(shù)為1.
所以,這與
(
)矛盾.
所以.
因此,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
若焦距為的雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 ( )
(A) (B)
(C)
(D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,正方體的棱長(zhǎng)為
,動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線
上,過(guò)點(diǎn)P作垂直于
的平面
,記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長(zhǎng)為y,設(shè)
x,則當(dāng)
時(shí),函數(shù)
的值域?yàn)椋?nbsp; )
(A)(B)
(C)
(D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知函數(shù),
,且
的最小正周期為
.
(Ⅰ)若,
,求
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量在
這
個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.
(Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出的值為
的概率
;
(Ⅱ)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行次后,統(tǒng)計(jì)記錄了輸出
的值為
的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù).
當(dāng)時(shí),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出
的值為
的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
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