已知集合A={x∈R|x2-(a+4)x+4)=0},函數(shù)y=3x的值域為B,若A∩B=∅,求a的取值范圍.
分析:利用指數(shù)函數(shù)的單調性可求得函數(shù)y=3x的值域B,依題意知,方程x2-(a+4)x+4)=0無正實數(shù)解,通過對△<0、△=0及△>0的討論,即可求得a的取值范圍.
解答:解:∵集合B是y=3x的值域,
∴B=(0,+∞),
又A∩B=∅,
∴方程x2-(a+4)x+4)=0無正實數(shù)解.
又△=(a+4)2-16=a(a+8),
①當△<0,即-8<a<0時,A=∅,顯然有A∩B=∅,
②當△=0,a=0或a=-8;
a=0時方程的解x=2不滿足;a=-8時方程的解x=-2滿足;
③當△>0時,a<-8或a>0,此時方程的解x=
a+4±
a2+8a
2
,
當a>0是,顯然
a+4±
a2+8a
2
均是正數(shù),不滿足題意;
當a<-8時,a+4<-4,
a2+8a
a2+8a+16
=|a+4|,
∴較大的根x=
a+4+
a2+8a
2
a+4+|a+4|
2
=
a+4-a-4
2
=0,
∴a<-8時,A∩B=∅.
綜上:a∈(-∞,0).
點評:本題考查函數(shù)的零點,考查指數(shù)函數(shù)的性質,著重考查二次方程根的討論,屬于中檔題.
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