Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分別為AB，CD的中點(diǎn)，AE的延長線交CB于F．現(xiàn)將△ACD沿CD折起，折成二面角A－CD－B，連接AF．

(Ⅰ)求證：平面AEF⊥平面CBD；

(Ⅱ)當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求二面角A－CD－B大小的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：在， 　　 　　又E是CD的中點(diǎn)，得AF⊥CD．3分 　　折起后，AE⊥CD，EF⊥CD， 　　又AE∩EF＝E，AE平面AED，EF平面AEF， 　　故CD⊥平面AEF，6分 　　又CD平面CDB， 　　故平面AEF⊥平面CBD．7分 　　(Ⅱ)方法一： 　　解：過點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線上． 　　因?yàn)镃D⊥平面AEF，所以CD⊥AH， 　　所以AH⊥平面CBD．8分 　　以E為原點(diǎn)，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸， 　　過E與AH平行的直線為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系數(shù)．9分 　　由(Ⅰ)可知∠AEF即為所求二面角的平面角， 　　設(shè)為，并設(shè)AC＝a，可得 　　11分 　　 　　得　13分 　　故二項(xiàng)角A－CD－B大小的余弦值為　14分 　　方法二：解：過點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線， 　　因?yàn)镃D⊥平面AEF，所以CD⊥AH， 　　所以AH⊥平面CBD．9分 　　連接CH并延長交BD的延長線于G， 　　由已知AC⊥BD，得CH⊥BD， 　　即∠CGB＝90°， 　　因此△CEH∽△CGD， 　　則 　　 　　故　12分 　　又∵AE⊥CD，EF⊥CD， 　　∴∠AEF即為所求二面角的平面角，13分 　　故二項(xiàng)角A－CD－B大小的余弦值為　14分