Question

設函數(shù)的定義域是，對于任意的，有，且當時，.

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性；

（3）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)為增函數(shù)；

（4）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）奇函數(shù)；（3）詳見解析；（4）.

【解析】

試題分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先說明函數(shù)的定義域關于原點對稱，然后令得到，然后可化成，可判斷函數(shù)為奇函數(shù)；（3）設，則，所以，從而利用單調(diào)性的定義證出函數(shù)在上為增函數(shù)；（4）先將不等式轉(zhuǎn)化成，再由函數(shù)的單調(diào)遞增性，又轉(zhuǎn)化為，再分離參數(shù)得不等式，該不等式恒成立等價于，求出的最小值即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）取得， 2分

(2)函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：已知函數(shù)的定義域為

取代入，得，又，則

即為奇函數(shù) 5分

（3）證明：設且，則

由知，，則

則函數(shù)為上的增函數(shù) 9分

（4）由恒成立，又即為奇函數(shù)

得：恒成立。又函數(shù)為R上的增函數(shù)

得恒成立 11分

即恒成立

設：

令，則，即，知時，

則，即實數(shù)的取值范圍為 14分.

考點：1.抽象函數(shù)的問題；2.函數(shù)的奇偶性；3.函數(shù)的單調(diào)性.