Question

17、定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），求證：f（x）為奇函數．

Answer 1

分析：欲證f（x）為奇函數，即證f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，利用題中條件：“f（x+y）=f（x）+f（y），”使用賦值法：分別令x=y=0，得到f（0）的值；令y=-x結合f（0）即可得到f（-x）=-f（x），從而問題解決．

解答：證明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性的性質、抽象函數的奇偶性．函數雖然抽象，但我們必須掌握其基本方法，結合定義，使用賦值法．