Question

已知幾何體A-BCED 的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：
（1）異面直線DE 與AB 所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B 的正弦值；
（3）此幾何體的體積V 的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來求．取EC的中點(diǎn)是F，連接BF，則BF∥DE，∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．
（2）先過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，從而∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．再在在△ACG中，利用∠ACG=90°，求得sin∠AGC從而得出二面角A-ED-B的正弦值
（3）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，則體積可以求得．
解答：解：（1）取EC的中點(diǎn)是F，連接BF，
則BF∥DE，∴∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．
在△BAF中，AB=4，BF=AF=2，
cos∠ABF=，．
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．（3分）
（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=
∴tan∠AGC=，．∴sin∠AGC=．
∴二面角A-ED-B的正弦值為．（6分）
（3）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=2，
∴S_梯形BCED=×（4+2）×4=12
∴V=•S_梯形BCED•AC=×12×4=16．
即該幾何體的體積V為16．
點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．