Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)的和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的圖象上；數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和T_n＞

5

9

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出c_n=

an

bn

是表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

的圖象上，
∴Sn=

1

8

an2+

1

2

an+

1

2

，①
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

8

an-12+

1

2

an-1+

1

2

，②
①-②得：an=

1

8

(an2-an-12)+

1

2

(an-an-1)，
即an+an-1=

1

4

(an+an-1)(an-an-1)，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
又a₁=2，∴a_n=4n-2；
∵b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，
∴b1=2，

bn+1

bn

=

1

4

，∴bn=2•(

1

4

)n-1；
（2）∵cn=

an

bn

=(2n-1)4n-1，
∴Tn=1+3•4+5•42+…+(2n-3)•4n-2+(2n-1)•4n-1，
4T_n=4+3•4²+5•4³+…+（2n-5）•4^n-1+（2n-1）•4ⁿ，
兩式相減得-3Tn=1+2(4+42+…+4n-1)-(2n-1)4n=-

5

3

-(2n-

5

3

)•4n＜-

5

3

，
∴Tn＞

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列求和，要求數(shù)列掌握錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和．