【題目】設△ABC的三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且b（cosA－3cosC）＝（3c－a）cosB．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若cosB＝，且△ABC的周長為14，求b的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）6

【解析】

試題分析：（I）由b（cosA-3cosC）=（3c-a）cosB．利用正弦定理可得：．化簡整理即可得出．（II）由得c=3a．利用余弦定理及cosB=即可得出

試題解析：（1）由正弦定理得，

（cosA－3cosC）sinB＝（3sinC－sinA）cosB，

化簡可得sin（A＋B）＝3sin（B＋C）． 5分

又A＋B＋C＝π，

所以sinC＝3sinA，因此＝． 6分

（2）由＝得c＝3a，

由余弦定理及cosB＝得

b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋9a2－6a2×＝9a2． 10分

所以b＝3a．又a＋b＋c＝14，

從而a＝2，因此b＝6． 12分

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