Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

2

x

+6，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）已知a=

3

4

，P₁，P₂是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)，若在點(diǎn)P₁，P₂處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值；
（3）設(shè)定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=s（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=t（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

s(x)-t(x)

x-x0

＞0在D上恒成立，則稱(chēng)點(diǎn)P為函數(shù)y=s（x）的“好點(diǎn)”．試問(wèn)函數(shù)g（x）=x²f（x）是否存在“好點(diǎn)”．若存在，請(qǐng)求出所有“好點(diǎn)”坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，然后討論開(kāi)口方向結(jié)合利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍；
方法二：利用參變量分離法進(jìn)行求解，將a分離出來(lái)，然后研究不等式另一側(cè)函數(shù)的最大值即可求出a的取值范圍；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)分別求出切線的斜率，然后表示出兩切線方程，最后利用兩平行線的距離公式表示出這兩條切線間距離，再利用基本不等式可求出最大值；
（3）設(shè)g（x）存在“好點(diǎn)”P(pán)（x₀，y₀），然后根據(jù)“好點(diǎn)”的定義建立關(guān)系式，討論a的正負(fù)可求出“好點(diǎn)”坐標(biāo)．

解答：解：（1）方法一：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，即為（a-3）x²+6x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，
①a=3時(shí)，結(jié)論成立；
②a＞3時(shí)，
函數(shù)h（x）=（a-3）x²+6x+2圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

6

2(a-3)

＜0，
所以函數(shù)h（x）=（a-3）x²+6x+2在（1，+∞）單調(diào)遞增，
依題意h（1）＞0，即a＞-5，
所以a＞3；
③a＜3不合要求，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥3．
方法二：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立等價(jià)于a＞-

2

x2

-

6

x

+3，
令h(x)=-

2

x2

-

6

x

+3=-2(

1

x

+

3

2

)2+

15

2

因?yàn)閤＞1，所以0＜

1

x

＜1，故-5＜h（x）＜3
所以a≥3．
（2）f′(x)=

3

4

-

2

x2

設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），在點(diǎn)P₁，P₂處的兩切線互相平行，
則

3

4

-

2

x 2 1

=

3

4

-

2

x 2 2

，所以x₁=x₂（舍去），或x₁=-x₂，
過(guò)點(diǎn)P₁的切線l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁），即f'（x₁）x-y+f（x₁）-x₁f'（x₁）=0，
過(guò)點(diǎn)P₂的切線l₂：f'（x₂）x-y+f（x₂）-x₂f'（x₂）=0
兩平行線間的距離是d=

|f(x1)-f(x2)-x1f′(x1)+x2f′(x2)|

1+[f′(x1)]2

=

2|( 3 4 x1+ 2 x1 )-x1( 3 4 - 2 x 2 1 )|

1+( 3 4 - 2 x 2 1 )2

=

8 |x1|

25 16 - 3 x 2 1 + 4 x 4 1

=

8

25 16 x 2 1 + 4 x 2 1 -3

，
因?yàn)?span id="fodlqaj" class="MathJye">

25

16

x

2 1

+

4

x 2 1

≥2

25 16 x 2 1 • 4 x 2 1

=5，所以d≤

8

5-3

=4

2

，
即兩平行切線間的最大距離是4

2

．
（3）g（x）=x²f（x）=ax³+6x²+2x，設(shè)g（x）存在“好點(diǎn)”P(pán)（x₀，y₀），
由g'（x）=3ax²+12x+2，得h（x）=g'（x₀）（x-x₀）+g（x₀），
依題意

g(x)-h(x)

x-x0

＞0對(duì)任意x≠x₀恒成立，
因?yàn)?span id="rxsx1wb" class="MathJye">

g(x)-[g′(x0)(x-x0)+g(x0)]

x-x0

=

[g(x)-g(x0)]-g′(x0)(x-x0)

x-x0

=

[(ax3+6x2+2x)-(a x 3 0 +6 x 2 0 +2x0)]-(3a x 2 0 +12x0+2)(x-x0)

x-x0

=[a(x2+x0x+

x

2 0

)+6(x+x0)+2]-(3a

x

2 0

+12x0+2)
=ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)，
所以ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)＞0對(duì)任意x≠x₀恒成立，
①若a≤0，ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)＞0不可能對(duì)任意x≠x₀恒成立，
即a≤0時(shí)，不存在“好點(diǎn)”；
②若a＞0，因?yàn)楫?dāng)x=x₀時(shí)，ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)=0，
要使ax2+(ax0+6)x-(2a

x

2 0

+6x0)＞0對(duì)任意x≠x₀恒成立，
必須△=(ax0+6)2+4a(2a

x

2 0

+6x0)≤0(ax0+2)2≤0，所以x0=-

2

a

，
綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，不存在“好點(diǎn)”；
當(dāng)a＞0時(shí)，存在惟一“好點(diǎn)”為(-

2

a

，

16-4a

a2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用和恒成立問(wèn)題，恒成立求參數(shù)常常利用參變量分離法進(jìn)行求解，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．