Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx在區(qū)間[-1，1）、（1，3]內(nèi)各有一個極值點(diǎn)，則a-4b的取值范圍是（-16，10]．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的兩個極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，x₁∈[-1，1），x₂∈（1，3]，建立不等式，利用平面區(qū)域，即可求a-4b的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=x²+ax+b，
∵f（x）的兩個極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，
x₁∈（-1，1），x₂∈（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=1-a+b＞0}\\{f′（1）=1+a+b＜0}\\{f′（3）=9+3a+b＞0}\end{array}\right.$，
對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：

令z=a-4b，得：b=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{4}$z，
平移直線b=b=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{4}$z，
顯然直線過A（-4，3）時，z最小，最小值是-16，
過B（-2，-3）時，z最大，最大值是10，
故答案為：（-16，10]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查平面區(qū)域的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．