Question

集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的，對于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）試判斷f₁（x）=

x

-2及f₂（x）=4-6?（

1

2

）^x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，試說明理由；
（2）對于（1）中你認為是集合A中的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否對于任意x≥0總成立？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）通過特例，判斷f₁（x）不在集合A中，求出f₂（x）的值域，即可判斷是否在集合A中．
（2）利用 （1）f₂（x）在集合A中，化簡不等式f（x）+f（x+2）-2f（x+1）通過指數(shù)的性質(zhì)，推出結(jié)論即可．

解答：解：（1）∵當x=49時f₁（49）=5∉[-2，4）
∴f₁（x）不在集合A中             （3分）
又∵f₂（x）的值域[-2，4），
∴f₂（x）∈[-2，4）
當x≥0時f₂（x）為增函數(shù)，
因為y=?（

1

2

）^x是減函數(shù)，所以f₂（x）=4-6?（

1

2

）^x（x≥0）是增函數(shù)，
∴f₂（x）在集合A中               （3分）
（2）∵f₂（x）+f₂（x+2）-2f₂（x+1）
=4-6(

1

2

)x+4-6(

1

2

)x+2-2[4-6(

1

2

)x+1]
=6[2(

1

2

)x+1-(

1

2

)x-(

1

2

)x+2]=-6(

1

2

)x+2＜0(x≥0)
∴f₂（x）對任意x≥0，不等式f₂（x）+f₂（x+2）＜2f₂（x+1）總成立  （6分）

點評：本題是難度較大的題目，第一需要根據(jù)函數(shù)的值域、特殊值以及條件進行驗證．第二題目給出一個抽象函數(shù)不等式要求學(xué)生檢驗兩個已知函數(shù)式是否滿足條件，進而驗證這兩個函數(shù)是否是集合的元素，運算量較大，其中用到基本不等式，這個過程不好配湊．