Question

如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個頂點，點是橢圓的右焦點。點是軸上位于右側(cè)的一點，且滿足．

（1）求橢圓的方程以及點的坐標(biāo)；

（2）過點作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線交直線于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）；（2）定點坐標(biāo)為，證明見詳解．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，然后利用建立關(guān)于的方程，然后利用得到的方程，兩方程結(jié)合消去可得到的關(guān)系，再由條件中的離心率得到的關(guān)系，進(jìn)行通過解方程組可求得的值，進(jìn)行可求得橢圓的方程，以及點的坐標(biāo)；（2）設(shè)．將直線代入橢圓方程消去的得到的二次方程，利用韋達(dá)定理可利用表示點的坐標(biāo)．又設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點，然后利用可求得圓的方程，再令，取時滿足上式，故過定點．

試題解析：（1），設(shè)，

由有，

又，，

于是，

又，，

又，，橢圓，且．

（2），設(shè)，由

，

由于（*），

而由韋達(dá)定理：，

，，

設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點，

由有

，

由對稱性知定點在軸上，令，取時滿足上式，故過定點．

考點：1、橢圓方程及幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、圓的方程；4、證明定點問題．