Question

已知動圓P（圓心為點P）過定點A（1，0），且與直線x=-1相切，記動點P的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）設過點P的直線l與曲線C相切，且與直線x=-1相交于點Q．試研究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，點P到A（1，0）的距離等于點P到直線x=-1的距離．由此結合拋物線的定義，即可求出軌跡C的方程是
y²=4x；
（2）設直線l方程為y=kx+m，與拋物線y²=4x消去y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式可得km=1，由此代入所得方程解出P、Q的坐標．然后根據圖形的對稱性加以討論，得到若符合條件的M點存在，則點M的坐標必定為（1，0），即為A點．最后根據向量的數量積的坐標運算進行驗證，可得M的坐標為（1，0）時，⊥恒成立，即可得到在坐標平面內存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M．
解答：解：（1）∵動圓P過定點A（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點P到A（1，0）的距離等于點P到直線x=-1的距離．
因此，點P的軌跡是以A（1，0）為焦點、x=-1為準線的拋物線
設該拋物線方程為y²=2px，可得=1，解得p=2
∴拋物線方程為y²=4x，即為所求軌跡C的方程；
（2）設直線l方程為y=kx+m，（斜率不存在的直線不符合題意）
由消去y得：k²x²+（2km-4）x+m²=0
由題意知k≠0，且△=（2km-4）²-4k²m²=0，化簡得km=1
設直線l與曲線C相切的切點P（x，y），則有
x==，y=kx+m=，所以P（，）
由解得Q（-1，m-k）
假設坐標平面內符合條件的點M存在，由圖形的對稱性知點M在x軸上
若取k=m=1，此時P（1，2），Q（-1，0），可得以PQ為直徑的圓為x²+（y-1）²=2，
交x軸于M₁（1，0），M₂（-1，0）
若取k=2，m=，此時P（，1），Q（-1，-），可得以PQ為直徑的圓為（x+）²+（y+）²=，
交x軸于M₃（1，0），M₄（-，0）
所以若符合條件的M點存在，則點M的坐標必定為（1，0），即為A點．
以下證明，M（1，0）就是滿足條件的點
當M的坐標為（1，0）時，=（-1，），=（-2，m-k）
∴•=-2（-1）+（m-k）==0
因此，⊥恒成立
綜上所述，在坐標平面內存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M．
點評：本題給出動圓P過定點A（1，0）且與定直線相切，求動點P的軌跡方程并討論以PQ為直徑的圓恒過點M的問題．著重考查了拋物線的標準方程和簡單幾何性質、軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的關系等知識，屬于基礎題．